Informacje
Czat SI

MRS - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs

Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Rok akademicki: 2012/2013

Przesłane przez:

Anonimowy Student

Ten dokument został przesłany przez studenta, takiego jak Ty, który zażyczył sobie zachować anonimowość.

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Polecane dla Ciebie

Komentarze

Aby publikować komentarze, zaloguj się lub zarejestruj się.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty

Przejrzyj tekst

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Problem brzegowy 1 Zadanie 1. Rozwiąż problem brzegowy metodą różnicową: y ′′ + 3xy = 9x2 + 6x − 5, x ∈ [0, 1], y(0) = −1, y(1) = 2. Przyjac krok h = 1/3. Odpowiedź: Korzystając ze wzoru na drugą pochodną yi′′ = yi−1 − 2yi + yi+1 , h2 otrzymujemy:    y0 − 2y1 + y2 + 3 1 y1 = 9( 1 )2 + 6 1 − 5   3 3 3  ( 31 )2   y1 − 2y2 + y3   + 3 32 y2 = 9( 23 )2 + 6 32 − 5  ( 31 )2 Po uwzględnieniu warunków brzegowych y0 = −1 i y3 = 2 równanie przyjmie postać ( −17y1 + 9y2 = 7 9y1 − 16y2 = −15 Stąd y1 = y(1/3) = 0 oraz y2 = y(2/3) = 1 Zadanie 2. Metodą różnić skończonych rozwiązać problem brzegowy: y ′′ + (1 + x2 )y = −1 y(−1) = y(1) = 0 y = y(x) Przyjąć podział przedziału [−1, 1] na cztery części (h = 0). Wskazówka: W celu uproszczenia obliczeń można skorzystać z symetrii rozwiązania, tzn. y(x) = y(−x). Zadanie 3. Problem brzegowy: ma rozwiązanie: π y ′′ = y ′ + 2y + cos x , 0¬x¬ , 2 π = 0 y(0) = −0 , y 2 1 (sin x + 3 cos x) . 10 Zastosować metodę różnic skończonych dla otrzymania rozwiązania przybliżonego i porównać wyniki z rozwiązaniem dokładnym. Przyjąć: y (x) = − h= π , 4 h= π . 6 Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Problem brzegowy 2 Zadanie 4. Metodą różnic skończonych rozwiąż następujące zadania: a) y ′′ + y = 0, 0 ¬ x ¬ π, b) y ′′ + 4y = cos(x), c) y ′′ = −4y ′ + 4y, y(0) = 1, y(π) = −1, 0 ¬ x ¬ π/4, 0 ¬ x ¬ 5, h = π/3; y(0) = 0, y(π/4) = 0; y(0) = 1, y(5) = 0, h = π/12; h = 0; Zadanie 5. Metodą różnic skończonych rozwiąż zadanie: y ′′ = −(x + 1)y ′ + 2y + (1 − x2 )e−x , 0 ¬ x ¬ 1, y(0) = y(1) = 0, i porównaj wyniki z rozwiązaniem ścisłym y = (x − 1)e−x . Zadanie 6. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia brzegowego d2 y − y = 2x − 1 , dx2 y(0) = 0 y(8) = 0 metodą różnic skończonych. h=2 . h = 0

Czy ten dokument był pomocny?

MRS - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet: Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Czy ten dokument był pomocny?

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Problem brzegowy 1

Zadanie 1. Rozwiąż problem brzegowy metodą różnicową:

y′′ + 3xy = 9x2+ 6x−5, x ∈[0,1], y(0) = −1, y(1) = 2.

Przyjac krok h= 1/3.

Odpowiedź:

Korzystając ze wzoru na drugą pochodną

y′′

i=yi−1−2yi+yi+1

h2,

otrzymujemy:











y0−2y1+y2

3)2+ 3 1

3y1= 9(1

3)2+ 6 1

3−5

y1−2y2+y3

3)2+ 3 2

3y2= 9(2

3)2+ 6 2

3−5

Po uwzględnieniu warunków brzegowych y0=−1iy3= 2 równanie przyjmie postać

(−17y1+ 9y2= 7

9y1−16y2=−15

Stąd y1=y(1/3) = 0.1204 oraz y2=y(2/3) = 1.0052

Zadanie 2. Metodą różnić skończonych rozwiązać problem brzegowy:

y′′ + (1 + x2)y=−1y=y(x)

y(−1) = y(1) = 0

Przyjąć podział przedziału [−1,1] na cztery części (h= 0.5).

Wskazówka: W celu uproszczenia obliczeń można skorzystać z symetrii rozwiązania,

tzn. y(x) = y(−x).

Zadanie 3. Problem brzegowy:

y′′ =y′+ 2y+ cos x , 0¬x¬π

y(0) = −0.3, y π

2= 0.1

ma rozwiązanie:

y(x) = −1

10 (sin x+ 3 cos x).

Zastosować metodę różnic skończonych dla otrzymania rozwiązania przybliżonego i porównać

wyniki z rozwiązaniem dokładnym. Przyjąć:

h=π

4, h =π